Mathematik der Tennis-Aufstellung

1 · Das Modell

Der NÖTV-Captain hat in der Herren-Allgemeine-Klasse eine echte strategische Entscheidung: nach den Einzeln, mit Wissen wer in Form war, werden die 3 Doppel aus 6 Spielern aufgestellt. Die Frage: welche Paarung gewinnt am wahrscheinlichsten 2 von 3 Doppel?

Unser Modell:

P(wir gewinnen ein Doppel) = ½ · tanh((ITNGegner − ITNmein) · weight) + ½

wo ITNmein und ITNGegner die Mittelwerte beider Spieler im jeweiligen Paar sind. Niedrige ITN = stärker, daher ist die Differenz positiv, wenn wir stärker sind. Der Steigungs-Parameter weight bestimmt, wie steil das Modell auf ITN-Unterschiede reagiert.

2 · Datengrundlage

Wir haben alle NÖTV-Begegnungen von UTC Krems-Süd + 16 niederösterreichischen Gegnervereinen aus den Saisons 2021-06-08 bis 2026-05-21 via offizieller NÖTV-API extrahiert. Pro Begegnung enthält der Datensatz alle Einzel und Doppel mit den ITN-Werten beider Seiten und dem Ergebnis. Insgesamt: 11157 Einzel und 5093 Doppel.

Welche Vereine sind in der Stichprobe?

• UTC Krems-Süd
• UTK Langenlois
• UTC Hadersdorf-Kammern
• UTC Rohrendorf
• Tennisclub Stratzing-Droß
• UTK Mautern
• TC Grafenwörth-Feuersbrunn
• UTC Emmersdorf
• USV Furth bei Göttweig
• UTC Gedersdorf
• WSV Voest-Alpine Krems
• Tennisclub Eggenburg
• UTC Groß Siegharts
• UTC Waidhofen/Thaya
• UTC Krems-Mitterau
• SG Die Wachauer
• KTK Krems

17 NÖTV-Vereine, schwerpunktmäßig aus der Wachau, dem Kremser Raum und Waldviertel. UTC Krems-Süd ist in allen Begegnungen entweder Heim oder Gast; die 16 anderen sind unsere historischen Mannschaftsmeisterschafts-Gegner.

Welche Spieler-Klassen sind enthalten?

Klasse	Einzel	Doppel
Allgemeine Klasse (Herren/Damen)	7101	3324
Senioren (35+, 45+, 55+, …)	2064	1148
Jugend / Kids	1992	621

Die meisten Datenpunkte stammen aus der Allgemeinen Klasse — dort spielen am meisten Mannschaften und die ITN-Werte sind am dichtesten besetzt. Senioren- und Jugend-Matches sind ebenfalls enthalten, weil das tanh-Modell skaleninvariant ist (eine ITN-Differenz von +0.5 hat überall dieselbe Bedeutung).

Welche ITN-Werte sind in der Stichprobe?

	Min	Median	Max
Einzel-Spieler-ITN	1.50	7.50	10.30
Doppel-Paar-Mittel-ITN	1.60	7.40	10.30

ITN-Skala: 1.0 = Weltklasse, 3.0–4.0 = Landesliga-Niveau, 6.0–7.0 = Hobby, 10.0 = Anfänger. Niedrig = stärker. Unsere Stichprobe deckt das Spektrum von Top-Spielern bis Anfänger ab, mit Schwerpunkt im Landesliga-/Hobby-Bereich.

3 · Einzel: Wann gewinnt man?

Das Einzel-Modell ergibt per Maximum-Likelihood-Fit:

P(Einzel-Sieg) = ½ · tanh((ITNGegner − ITNmein) · 0.94) + ½

Konvention im Chart unten: die x-Achse zeigt ITNGast − ITNHeim. Aus Sicht des Heim-Spielers ist das identisch mit ITNGegner − ITNmein.

Was deutlich wird: bei ITN-Differenz +0.5 (wir leicht stärker) gewinnt der Heim-Spieler ca. 70%. Bei +1.0 etwa 85%. Bei -0.5 (wir schwächer) sind's nur noch ~20-30%. Aber: bei knappen Differenzen (±0.2 ITN) ist's quasi 50:50 — pure Tagesform.

4 · Doppel: Etwas berechenbarer

Das Doppel-Modell:

P(Doppel-Sieg) = ½ · tanh((ITNGegner-Paar − ITNunser-Paar) · 0.97) + ½

Die Paar-ITN ist der arithmetische Mittelwert der beiden Spieler-ITN. Wieder gilt: positive Differenz ⇒ wir stärker.

Doppel ist statistisch etwas steiler als Einzel (weight 0.97 vs 0.94) — d.h. der Paar-ITN-Mittelwert ist ein besserer Prädiktor als die Einzel-ITN. Erklärung: beim Doppel-Mittel werden individuelle Tagesform-Schwankungen ausgeglichen.

ITN-Differenz	N	Siege	Empirisch	Modell
-3.0 – -0.5	1309	192	15%	3%
-0.5 – -0.2	627	208	33%	34%
-0.2 – +0.2	1064	571	54%	50%
+0.2 – +0.5	595	396	67%	66%
+0.5 – +1.0	750	609	81%	81%
+1.0 – +3.0	714	677	95%	98%

5 · Mathematik: P(mindestens k Doppel-Siege)

Für die Captain-Entscheidung interessiert nicht die Sieg-Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Doppels, sondern die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1, mindestens 2 oder alle 3 Doppel zu gewinnen. Wir nehmen an, die 3 Doppel sind stochastisch unabhängig — was empirisch gut hält (Verletzungen oder Wetter-Effekte korrelieren nur schwach).

Seien p1, p2, p3 die Sieg-Wahrscheinlichkeiten der drei Doppel (jeweils aus der tanh-Formel oben). Dann gilt für die exakte Anzahl gewonnener Doppel:

P(genau 0) = (1−p1)·(1−p2)·(1−p3)
P(genau 1) = p1·(1−p2)·(1−p3) + (1−p1)·p2·(1−p3) + (1−p1)·(1−p2)·p3
P(genau 2) = p1·p2·(1−p3) + p1·(1−p2)·p3 + (1−p1)·p2·p3
P(genau 3) = p1·p2·p3

Daraus die kumulativen Wahrscheinlichkeiten (≥k Siege):

P(≥1 Sieg) = 1 − P(genau 0) = 1 − (1−p1)·(1−p2)·(1−p3)
P(≥2 Siege) = P(genau 2) + P(genau 3)
P(≥3 Siege) = P(genau 3) = p1·p2·p3

Beispiel: bei drei knappen Doppeln mit je p = 60% ergibt sich:

• P(≥1) = 1 − 0.4³ = 93.6% — fast sicher mindestens einer
• P(≥2) = 3·0.6²·0.4 + 0.6³ = 64.8% — Mehrheits-Sieg wahrscheinlich
• P(≥3) = 0.6³ = 21.6% — Vollsieg deutlich unwahrscheinlicher

Im Doppelrechner wird zusätzlich der Minimax-Filter angewandt: für jede unserer Aufstellungen wird die für uns ungünstigste Gegner-Aufstellung gewählt; angezeigt wird die schlechteste zu erwartende P(≥k). So bleibt das angezeigte Prozent ein garantierter Mindestwert, kein Best-Case.

6 · Wie wählt man die Aufstellung? (Minimax)

Der Captain weiß vor dem Doppel nicht, wie der Gegner-Captain seine 6 Spieler paart. Deshalb müssen wir spieltheoretisch rechnen: für jede unserer 22 regelkonformen Aufstellungen könnte der Gegner irgendeine seiner 22 Aufstellungen wählen — das sind 484 mögliche Szenarien.

Wir nehmen an: der Gegner stellt so auf, dass für uns P(≥2) möglichst klein wird. Das ist konservativ — der reale Gegner kann durchaus „schlechter" aufstellen, wodurch unsere echte Sieg-Chance höher liegt. Aber wir verschenken nie eine Garantie.

Konkret rechnet der Solver:

Für jede unserer 22 Aufstellungen u:
   p_garantiert(u) = min über alle 22 Gegner-Aufstellungen g von P(≥2 | u, g)

Minimax-Aufstellung = argmax über u von p_garantiert(u)

Übersetzt: zuerst stellt sich für jede unserer Wahlen die für uns ungünstigste Gegner-Antwort ein (das innere Minimum). Dann wählen wir die Aufstellung, deren ungünstigste Gegner-Antwort uns noch am wenigsten weh tut (das äußere Maximum). Das Ergebnis ist ein garantierter Mindestwert, kein Best-Case.

7 · Konkretes Beispiel: Spielbericht 1. Mannschaft

UTC Krems-Süd 1 vs UTC Bruck/Leitha 1 · 2026-05-10 · Allgemeine Klasse · Landesliga

Stand nach den 6 Einzeln: 3:3. Es musste ein Doppel-Sieg her — der Captain hatte folgende 6 Spieler in der Aufstellung, beide Teams nach ITN aufsteigend sortiert (Platzziffer 1 = stärkster):

7.1 · Tatsächlich gespielte Aufstellung — Modell-Prognose vs Realität

Beide Seiten haben (sortiert nach ITN) so paariert:

D	Heim-Paar	ITN-Mittel	Gast-Paar	ITN-Mittel	Diff	pi (Modell)	tatsächlich
1.D	Kunst (3.1) Hohenwarter (3.5)	3.30	Vlk (3.3) Podmanicky (3.5)	3.40	+0.10	54.8%	✗ verloren
2.D	Rohrböck (2.9) Denk (3.7)	3.30	Novodomec (2.7) Hofferik (4.6)	3.65	+0.35	66.4%	✗ verloren
3.D	Süß (3.5) Speck (3.5)	3.50	Pimpel (3.9) Horvat (4.6)	4.25	+0.75	81.1%	✓ gewonnen

Mit p₁=0.5483, p₂=0.6635, p₃=0.8108 rechnet sich:

P(genau 0) = 0.0288
P(genau 1) = 0.2148
P(genau 2) = 0.4614
P(genau 3) = 0.2950
Summe      = 1.000000  ✓

P(≥1 Doppel-Sieg)  = 97.12%
P(≥2 Doppel-Siege) = 75.64%
P(≥3 Doppel-Siege) = 29.50%

Real gespielt: 1 von 3 Doppel gewonnen. Das Modell hatte für ≥2 Siege ~76% Wahrscheinlichkeit vorhergesagt — eingetreten ist 1 → bei einem Einzelspiel sagt die Wahrscheinlichkeit nichts darüber aus, was passieren wird, sondern was im Schnitt über viele Spiele passieren würde.

7.2 · Was wäre Minimax-optimal gewesen?

Der Solver durchläuft alle 22×22 = 484 Szenarien. Für jede unserer Aufstellungen wird die für uns ungünstigste Gegner-Antwort identifiziert; daraus die Minimax-beste Wahl:

D	Heim-Paar (Minimax)	Worst-Case Gast-Paar	pi
1.D	Rohrböck (2.9) + Kunst (3.1) · ⌀ 3.00	Novodomec (2.7) + Podmanicky (3.5) · ⌀ 3.10	54.8%
2.D	Hohenwarter (3.5) + Süß (3.5) · ⌀ 3.50	Vlk (3.3) + Pimpel (3.9) · ⌀ 3.60	54.8%
3.D	Speck (3.5) + Denk (3.7) · ⌀ 3.60	Hofferik (4.6) + Horvat (4.6) · ⌀ 4.60	87.4%

• Garantiert P(≥1) 97.4%
• Garantiert P(≥2) 73.4%
• Garantiert P(≥3) 26.3%

7.3 · Drei verschiedene Wahrscheinlichkeiten — was bedeutet was?

An dieser Stelle entstehen leicht Verwirrungen, weil verschiedene Werte für „dieselbe Frage" zirkulieren. Sie sind aber nicht dasselbe:

Warum unterscheiden sich diese?

• 7.1 (75.6%) ist die Wahrscheinlichkeit für die tatsächlich gespielten Paarungen. Es gibt KEIN Optimieren, KEIN Gegner-Reagieren — beide Aufstellungen stehen fest, und das Modell rechnet einfach P(≥2). Diese Zahl ist meistens etwas höher als die Minimax-Garantie, weil ein realer Gegner selten exakt das Worst-Case spielt.
• 7.2 / 8.1 (73.4%) ist die Minimax-Garantie: für jede mögliche Gegner-Antwort haben wir mindestens diesen Wert. Konservativer, aber spielsicher.
• Best-Response (76.1%) ist, was theoretisch erreichbar wäre, wenn wir die Gegner-Aufstellung schon vorab gekannt hätten — also der Ober-Bound dessen, was Aufstellung gegen genau diese eine Gegner-Anordnung leisten kann.

Bei Bruck/Leitha: Real-Differenz = -2.26 pp. Bruck/Leitha hat also leicht suboptimal aufgestellt — wir hatten 75.8% statt der Minimax-„Garantie" von 73.4%.

7.4 · Wie variabel ist P(≥2) je nach Gegner-Reaktion?

Für unsere Minimax-Aufstellung (1, 2, 3, 4, 5, 6): alle 22 möglichen Gegner-Aufstellungen liefern P(≥2) zwischen 73.4% (Worst Case) und 76.4% (Best Case):

Gegner-Aufstellung	P(≥1)	P(≥2)	P(≥3)
5 ungünstigste für uns:
(1, 3, 2, 4, 5, 6)	97.4%	73.4%	26.3%
(1, 2, 3, 4, 5, 6)	97.5%	73.5%	26.0%
(1, 4, 2, 3, 5, 6)	97.5%	73.9%	25.3%
(2, 5, 1, 6, 3, 4)	97.4%	73.9%	27.1%
(2, 3, 1, 4, 5, 6)	97.6%	74.5%	24.2%
5 günstigste für uns:
(2, 4, 1, 5, 3, 6)	97.0%	76.2%	30.8%
(2, 4, 1, 6, 3, 5)	97.0%	76.2%	30.8%
(1, 4, 3, 5, 2, 6)	96.9%	76.3%	31.7%
(1, 4, 2, 5, 3, 6)	96.9%	76.4%	31.9%
(1, 4, 2, 6, 3, 5)	96.9%	76.4%	31.9%

7.5 · Verifikation: Monte-Carlo-Simulation

Quersicht der analytischen Formeln gegen 100.000 zufällige Simulationen mit den Per-Doppel-Wahrscheinlichkeiten der Minimax-Aufstellung (jedes Doppel wird unabhängig mit p_i als „Sieg" ausgewürfelt):

	Analytisch	Monte-Carlo (100k)	Abweichung
P(≥1)	0.9744	0.9745	0.0002
P(≥2)	0.7338	0.7332	0.0006
P(≥3)	0.2629	0.2614	0.0015

Maximale absolute Abweichung: 0.0015 — innerhalb des Standardfehlers √(p(1-p)/N) ≈ 0.0016, also keine systematische Differenz. Die Formel rechnet korrekt.

Hinweis: alle Berechnungen verwenden den aktuellen MLE-Fit-Wert weight = 0.970 (gefittet auf 5093 NÖTV-Doppel-Matches). Frühere Versionen dieser Seite verwendeten irrtümlich einen alten Wert (weight=2.04 aus einem 45-Spiel-Sample), was bei großen ITN-Differenzen die Sieg-Wahrscheinlichkeiten um bis zu 13 Prozentpunkte überschätzt hat — dieser Bug ist seit 2026-05-11 behoben.

8 · Beste / schlechteste Aufstellung im Minimax-Sinn

Für vollständiges Bild: die Top-3 und schlechtesten 3 unserer 22 regelkonformen Aufstellungen (sortiert nach Minimax-P(≥2) — also Worst-Case-Garantie):

8.1 · Top 3 Aufstellungen (Minimax)

8.2 · Die schlechtesten 3 Aufstellungen (zur Kontrastierung)

9 · Was die Daten lehren

Konkrete Annahmen die wir treffen: (1) Die drei Doppel sind stochastisch unabhängig — d.h. ein Sieg im 1. Doppel beeinflusst die Wahrscheinlichkeit im 2. Doppel nicht. Empirisch hält das gut, weil unterschiedliche Spieler unterschiedlich tagesformabhängig sind. (2) Die ITN-Differenz ist der einzige Prädiktor — keine Wetter-, Court- oder Match-up-Effekte. (3) Modell-Form ist ½·tanh(diff·weight) + ½, kalibriert per Maximum-Likelihood auf den NÖTV-Daten.

• Tennis-Doppel ist deterministisch. Bei ≥0.5 ITN-Vorsprung gewinnst du in 82-100% der Fälle. Bei ≥1.0 ITN-Vorsprung praktisch immer.
• Gleichauf ist gefährlich. Bei ITN-Differenz nahe 0 ist's 36-50% — pure Lotterie.
• Captain-Entscheidungen machen Prozentpunkte aus. In unserem Beispiel: 4.5 Prozentpunkte zwischen bester und schlechtester regelkonformer Aufstellung. Über eine Saison summiert sich das.
• Minimax-Strategie schützt vor der besten Antwort des Gegners. Wer nur auf den naiven Erwartungswert optimiert, geht ein Risiko ein.
• Die NÖTV-Regel (§7 Abs. 11) lässt nur 22 von 90 möglichen Anordnungen zu. Spieler 1 muss in 1.D oder 2.D spielen, die Paar-Summen müssen aufsteigend sein — das schränkt den Spielraum deutlich ein.